Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Διακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών http://www.softlab.ntua.gr/~fotakis/discrete_math

Διακριτές Μέθοδοι για την Επιστήμη των Υπολογιστών

Μάθημα Επιλογής Κορμού, 4ου Εξαμήνου, Κωδικός 3.4.07.4

Ανακοινώσεις, Γενικά, Περιεχόμενα, Παλαιότερα Έτη, Ύλη, Βιβλιογραφία, Συμπληρωματικό Υλικό, Γραπτές Ασκήσεις, Διαλέξεις - Διαφάνειες

Διαλέξεις: 25/2 | 1/3 | 4/3 | 8/3 | 15/3 | 16/3 | 18/3 | 23/3 | 12/4 | 15/4 | 19/4 | 26/4 | 28/4 | 3/5 | 6/5 | 10/5 | 13/5 | 17/5 | 21/5 | 27/5 | 28/5 | 31/5 | 3/6 | 7/6 | 10/6 

Ανακοινώσεις

Γενικά

• Ώρες γραφείου διδασκόντων:

  • Δ. Φωτάκης: Δευτέρα 15:00 - 17:00 και Πέμπτη 15:00–16:00, στο (παλαιό) Κτίριο Ηλεκτρολόγων, γρ. 1.1.10, τηλ. 210-772-4302.

Περιεχόμενα

• Στοιχεία προτασιακής και κατηγορηματικής λογικής.

• Σύνολα και πράξεις συνόλων.

• Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα, αρχή της διαγωνιοποίησης, μη υπολογισιμότητα, παράδοξο του Russel.

• Αποδεικτικές διαδικασίες, μαθηματική επαγωγή.

• Αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού.

• Σχέσεις και συναρτήσεις. Διμελείς σχέσεις, ιδιότητες διμελών σχέσεων, σχέσεις ισοδυναμίας, σχέσεις μερικής και ολικής διάταξης, κλειστότητες σχέσεων, συναρτήσεις, αρχή του περιστερώνα.

• Γλώσσες, γραμματικές, τύποι γραμματικών και γλωσσών, κανονικές γλώσσες, γλώσσες χωρίς συμφραζόμενα, πεπερασμένα αυτόματα ως μηχανές αναγνώρισης κανονικών γλωσσών, το Λήμμα 'Αντλησης για κανονικές γλώσσες.

• Συνδυαστική απαρίθμηση. Κανόνες γινομένου και αθροίσματος, εφαρμογές αρχής εγκλεισμού-αποκλεισμού, μεταθέσεις και διατάξεις, συνδυασμοί, δυωνυμικοί συντελεστές, τρίγωνο του Pascal, διανομή διακεκριμένων και μη-διακεκριμένων αντικειμένων σε υποδοχές, κατασκευή μεταθέσεων και συνδυασμών, στοιχεία διακριτής πιθανότητας.

• Ασυμπτωτικός συμβολισμός και ασυμπτωτική εκτίμηση.

• Γεννήτριες Συναρτήσεις. Βασικές ιδιότητες, εφαρμογή στον υπολογισμό αθροισμάτων, εφαρμογή στην επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων, εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις.

• Επίλυση γραμμικών αναδρομικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Χαρακτηριστική εξίσωση, ομογενής λύση, ειδική λύση, επίλυση με τη μέθοδο των Γεννητριών Συναρτήσεων.

Παλαιότερα Έτη

• Ιστοσελίδα του μαθήματος για το ακαδ. έτος 2008-2009.

• Ιστοσελίδα του μαθήματος για το ακαδ. έτος 2007-2008.

Ύλη

Για τις εξετάσεις, πρέπει να έχετε μελετήσει και κατανοήσει όλη την ύλη που παρουσιάσαμε στην τάξη (αν χάσατε κάποια μαθήματα, οι διαφάνειες θα σας βοηθήσουν). Ενδεικτικά αναφέρεται ότι η ύλη που καλύψαμε στο μάθημα περιλαμβάνει ότι αναφέρεται στα Κεφάλαια 1, 2, 3 (με εξαίρεση τις ενότητες 3.7 και 3.8), 4 (με εξαίρεση την ενότητα 4.7), 7, 9, και 10 του βιβλίου του Liu, στα Κεφάλαια 1 (με εξαίρεση ένα μικρό μέρος της ενότητας 1.5), 2, 3.2, 4 (με εξαίρεση την ενότητα 4.5), 5, 7, 8, και 12 (με εξαίρεση τις ενότητες 12.2 και 12.5) του βιβλίου του Rosen (η αρίθμηση των ενοτήτων αναφέρεται στο πρωτότυπο, 6η έκδοση), και στα Κεφάλαια 1 (με εξαίρεση τις ενότητες 1.4 και 1.5), 2 (με εξαίρεση την ενότητα 2.4), 4 (με εξαίρεση την ενότητα 4.5), 5, 6 (με εξαίρεση τις ενότητες 6.8 και 6.9), 7, 8, 9.2, 10 (με εξαίρεση την ενότητα 10.4), και 12 του βιβλίου της Epp. Υπάρχουν αρκετά πράγματα που είπαμε στο μάθημα και δεν αναλύονται επαρκώς στα βιβλία (αυτό συχνότερα συμβαίνει με το βιβλίο του Liu).

Βιβλιογραφία

• Φ. Αφράτη, Γ. Παπαγεωργίου. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών. Έκδοση Ε.Μ.Π., 1990.

• C.L. Liu. Στοιχεία Διακριτών Μαθηματικών (απόδοση στα Ελληνικά: Κ. Μπους και Δ. Γραμμένος). Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2003.

• K.H. Rosen. Discrete Mathematics and its Applications (6th Edition). McGraw-Hill, 2007.

• L. Lovasz, J. Pelikan, K. Vesztergombi. Discrete Mathematics: Elementary and Beyond. Springer, 2003.

• L. Lovasz, K. Vesztergombi. Discrete Mathematics. Lecture Notes, Yale University, 1999.

• S. Epp. Discrete Mathematics with Applications. Wadsworth, 1990.

• R.L. Grimaldi. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction (5th Edition). Addison-Wesley, 2003.

• C.L. Liu. Introduction to Combinatorial Mathematics. McGraw-Hill, 1969.

• R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 1989.

• Η. Κουτσουπιάς. Μαθηματικά της Πληροφορικής. ΕΚΠΑ, 2008.

• Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά της Επιστήμης των Υπολογιστών. Gutenberg, 1994.

• Γ. Βουτσαδάκης, Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Προβλήματα και Λύσεις. Gutenberg, 1994.

• DiscreteMath@MIT.

• DiscreteMath@Princeton.

• Μ. Κούτρας. Μάθημα (και βιβλίο) Συνδυαστικής. Πανεπιστήμιο Πειραιά.

• H. Lewis and Ch. Papadimitriou. Elements of the Theory of Computation (2nd edition). Prentice-Hall, 1998. Κυκλοφορεί μεταφρασμένο στα Ελληνικά από τις εκδόσεις Κριτική.

• Μ. Sipser. Introduction to the Theory of Computation. Course Technology, 2005. Κυκλοφορεί μεταφρασμένο στα Ελληνικά από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

• J. Hopcroft, R. Motwani, J. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (3rd edition). Addison-Wesley, 2000.

Συμπληρωματικό Υλικό - Σημειώσεις

• Κάποιες συμπληρωματικές σημειώσεις στον ασυμπτωτικό συμβολισμό (Δ. Φωτάκης).

• Κάποιες σημειώσεις για τεχνικές επίλυσης αναδρομικών σχέσεων (Δ. Φωτάκης).

• Κάποιες σημειώσεις στις βασικές ιδιότητες των Γεννητριών Συναρτήσεων (Δ. Φωτάκης) και στις εφαρμογές τους.

• Κάποιες σημειώσεις στις βασικές έννοιες της συνδυαστικής (Δ. Φωτάκης) και μια χρήσιμη σύνοψη σε μορφή διαγράμματος (ενημερωμένο και με τις αντίστοιχες Γεννήτριες Συναρτήσεις).

• Σημειώσεις για την αποδεικτική τεχνική της Μαθηματικής Επαγωγής (Δ. Φωτάκης).

• Κάποιες σημειώσεις σχετικά με το συντακτικό και την σημασιολογία της Πρωτοβάθμιας Λογικής (Δ. Φωτάκης).

• Μια χρήσιμη σύνοψη των περισσότερων βασικών εννοιών των Διακριτών Μαθηματικών (αναφέρεται και σε πολλές έννοιες που δεν θα συναντήσουμε στο μάθημα).

Γραπτές Εργασίες - Θέματα Εξετάσεων

• Εκφώνηση της 1ης Γραπτής Εργασίας.

• Εκφώνηση της 2ης Γραπτής Εργασίας.
• Εκφώνηση της 3ης Γραπτής Εργασίας.

Διαλέξεις - Διαφάνειες

Παράδοση 25/2/2010

• Διαδικαστικά θέματα.
• Στοιχεία Προτασιακής Λογικής.

Παράδοση 1/3/2010

• Στοιχεία Προτασιακής Λογικής.
• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.

Παράδοση 4/3/2010

• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.

Παράδοση 8/3/2010

• Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής.

Παράδοση 15/3/2010

• Σύνολα και πράξεις συνόλων.
• Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα.

Παράδοση 16/3/2010

• Αρχή της διαγωνιοποίησης. Μη υπολογισιμότητα, το παράδοξο του Russel.

Παράδοση 18/3/2010

• Αποδεικτικές διαδικασίες, μαθηματική επαγωγή.

Παράδοση 23/3/2010

• Μαθηματική επαγωγή.

Παράδοση 12/4/2010

• Τυπικές γλώσσες. Γραμματικές.

Παράδοση 15/4/2010

• Ντετερμινιστικά και μη ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα.

Παράδοση 19/4/2010

• Γλώσσες, γραμματικές, και πεπερασμένα αυτόματα: παραδείγματα και ασκήσεις.

Παράδοση 26/4/2010

• Ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα.

Παράδοση 28/4/2010

• Μη ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα.

Παράδοση 3/5/2010

• Κανονικές γλώσσες και πεπερασμένα αυτόματα. Λήμμα άντλησης για κανονικές γλώσσες.

Παράδοση 6/5/2010

• Γλώσσες χωρίς συμφραζόμενα, λήμμα άντλησης για γλώσσες χωρίς συμφραζόμενα.

Παράδοση 10/5/2010

• Αρχή Εγκλεισμού-Αποκλεισμού.

Παράδοση 13/5/2010

• Συνδυαστική Απαρίθμηση: κανόνες γινομένου και αθροίσματος, διατάξεις.

Παράδοση 17/5/2010

• Συνδυαστική Απαρίθμηση: διατάξεις και συνδυασμοί.

Παράδοση 21/5/2010

• Συνδυαστική Απαρίθμηση: Παραδείγματα. Βασικές Ιδιότητες Δυωνυμικών Συντελεστών. Δημιουργία Μεταθέσεων και Συνδυασμών.

Παράδοση 27/5/2010

• Γεννήτριες Συναρτήσεις: Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες. Εφαρμογή στον υπολογισμό αθροισμάτων.

Παράδοση 28/5/2010

• Γεννήτριες Συναρτήσεις: Εφαρμογή στην απαρίθμηση συνδυασμών. Εκθετικές γεννήτριες συναρτήσεις και απαρίθμηση διατάξεων.

Παράδοση 31/5/2010

• Ασυμπτωτικός συμβολισμός. Αναδρομικές σχέσεις. Αλγόριθμοι "Διαίρει-και-Βασίλευε", και επίλυση αναδρομικών σχέσεων που προκύπτουν κατά την ανάλυσή τους.

Παράδοση 3/6/2010

• Επίλυση Γραμμικών Αναδρομικών Σχέσεων με Σταθερούς Συντελεστές. Αρχή του Περιστερώνα: παραδείγματα.

Παράδοση 7/6/2010

• Διμελείς Σχέσεις. Κλειστότητες. Μεταβατική κλειστότητα, αλγόριθμος Warshall.

Παράδοση 10/6/2010

• Σχέσεις Ισοδυναμίας. Σχέσεις Μερικής Διάταξης.